Numerische Mathematik für Ingenieure und Physiker: Band 1: by Dr. rer. nat. Willi Törnig (auth.)

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1-1. 1-11) gilt. 2-1) y x y=f(x) Bild 2-2. Zum Newtonschen Verfahren 43 2. 2 N ewtonsches Verfahren Faßt man x(O) als eine Näherung der gesuchten Nullstelle auf. so ist x(1) eine bessere Näherung. Wir versuchen nun. von x (0) ausgehend. 2-2) zu finden. 2-2) gegebene Verfahren wird als Newtonsches Verfahren bezeichnet. Setzen wir fE C 2 ([a. bJ)l. voraus. 2-2) noch auf andere Art gelangen. Nach der Taylor-Formel gilt * = 0 = fex (k) ) fex ) f' (x(k)) (lf (k)) 1! x - x + + Hieraus errechnet man die Nullstelle Ist x * - x (k) so klein.

Eine beliebige reelle Zahl z E (-1, 1) wird dann im Rechner durch diejenige Maschinen- zahl z * ersetzt, die z am nächsten liegt. Man nennt diese Ersetzung Rundung. Da- I bei wird nach den üblichen Vorschriften auf- oder abgerundet. 7-9) relativer Rundungsfehler. 7-10) 1. 7-12) Die Festpunktzahl m, 1/2 ~ m< 1, heißt Mantisse, p Exponent der Gleitpunktzahl. Die Zahl t der Mantisse und der maximale Exponent P sind fest und ein Maß für die Rechengenauigkeit der Maschine bzw. für die Größe ihres Zahlbereichs.

O. ~ ist also Fixpunkt der Abbildung T. ~ der einzige. h. x * =y * gelten. Damit ist der für viele Anwendungen wichtige Satz bewiesen. 4 Fehlerabschätzungen Wenn man mit Hilfe eines Iterationsverfahrens der beschriebenen Art einen k-ten Näherungswert x(k) berechnet hat, so interessiert man sich für den Fehler x(k) _ x* oder 11 x(k) - x·~II. 6-22) erhalten. Hat man daher aus x(O) die erste Näherung x(1) bestimmt, so kann man bereits abschätzen, wie groß der Fehler der k-ten Näherung, k ~ 2, höchstens ist.

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