Micro et nano-electronique: Bases, composants, circuits by Fanet H.

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2ψ ∂2ψ ∂2ψ ∆ψ ( r, t ) = --------2- + --------2- + --------2∂x ∂y ∂z On s’intéresse aux fonctions d’onde correspondant à une énergie E donnée de l’électron. On dit alors que l’état est stationnaire. Dans ce cas, l’équation de Schrödinger se simplifie : ∂ ih ⋅ ---- ψ ( r, t ) = E ⋅ ψ ( r, t ) ∂t La solution s’écrit alors : ψ ( r, t ) = ψ ( r, 0 ) ⋅ e iEt – -----h La fonction d’onde est donc le produit d’une fonction dépendant de la position et d’une onde plane. La probabilité de présence de l’électron en un point donné est alors indépendante du temps.

Toutes les énergies ne sont pas autorisées et les énergies possibles se répartissent sous forme de bandes. On introduit à partir de cet exemple ce résultat fondamental en physique des solides. Il a en fait une portée générale. Si nous choisissons une valeur de l’énergie, la relation de dispersion permet de calculer le paramètre k à une constante additive n · 2π/a près puisque seul son cosinus est fixé. Il est alors appelé quasivecteur d’onde à cause de cette indétermination. Il est ensuite possible de calculer la fonction d’onde en tout point du cristal à partir de son expression dans les régions A et B.

On peut alors écrire que la dérivée de la phase de l’exponentielle est nulle pour cette valeur de k. t dE x = -- ⋅  ------ h  dk  k = k0 Cette équation identifie les régions de l’espace dans lesquelles la fonction d’onde de l’électron n’est pas nulle. 20) Cette vitesse est la vitesse de groupe du paquet d’ondes. C’est également la vitesse de la particule classique associée à l’électron. Une manière plus rigoureuse d’établir cette relation fait appel à la CHAPITRE 2 – LES 51 PRINCIPES PHYSIQUES DE BASE notion de valeur moyenne d’une grandeur physique en mécanique quantique.

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