Mathematische Strukturen: Von der linearen Algebra über by Joachim Hilgert

By Joachim Hilgert

Dieses Buch richtet sich an Studierende der Mathematik, die die Anfängervorlesungen in research und Linearer Algebra gemeistert haben. Es ist gedacht als Orientierungshilfe für die Vielzahl an spezialisierten  Fachveranstaltungen in den mittleren und höheren Semestern. Ein wichtiges Anliegen ist die Darstellung von Vergleichsmöglichkeiten und Ähnlichkeiten  zwischen mathematischen Disziplinen. Das organisierende Prinzip ist der Begriff der mathematischen Struktur, der sich durch alle Teilgebiete der Mathematik zieht.

Die Inhalte,  an denen die verschiedenen Typen von Strukturen exemplarisch erläutert werden, decken curriculare Anforderungen insbesondere aus der Algebra und der Geometrie (differentiell und algebraisch) ab. Die Diskussion von Vergleichsmöglichkeiten enthält aber auch Einführungen in die Kategorientheorie und die Garbentheorie, deren Bedeutung in der modernen Mathematik eine stärkere Verankerung in den Curricula nahelegt.   

Das Buch eignet sich insbesondere auch zum Nachschlagen der dargestellten Strukturen.

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Zeige, dass V die endliche direkte Summe von Unterräumen Vj ist, die alle einen '-zyklischen Vektor haben. '/x für p 2 RŒX und x 2 V . Bestimme einen '-zyklischen Vektor von V und das Minimalpolynom von '. V / in Potenzen von Linearfaktoren und letztlich zur Jordan-Normalform. X /k KŒX mit 2 K ist. Letzteres ist eine Zusatzannahme, denn im Allgemeinen weiß man nicht, ob es Eigenwerte von ' in K gibt. X mit 2 K. Dann gibt es eine Basis fv1 ; : : : ; vk g von V bezüglich der die darstellende Matrix von ' die Gestalt 0 B B0 B B :: B: B B :: B: B B: @ :: 0 1 0 ::: ::: :: 1 :: : 0 :: : : :: : 0 1 0 ::: ::: ::: 0 1 0 :: C :C C :: C :C C C 0C C C 1A /k das charakteristische Polynom hat.

R, s 7! s r ein Modulhomomorphismus. R/ ! R/; f 7! R/-Modulhomomorphismus. 2(i0 ), nicht aber ein Rechtsideal, d. 1 Strukturtheorie von Moduln 31 (vi) Wir verallgemeinern das Beispiel aus (v): Sei R ein Ring. Betrachtet man R als Links- oder Rechts-R-Modul und ist I Â R ein Untermodul, dann heißt I ein Links- bzw. Rechtsideal. I ist genau dann ein Ideal von R, wenn es sowohl ein Links- als auch ein Rechtsideal ist. Die Untermoduln, die wir als Bilder von Inklusionsabbildungen gefunden haben, sind Spezialfälle eines ganz allgemeinen Phänomens: Bilder von Modulhomomorphismen sind immer Untermoduln des Wertebereichs.

M/ . rf C r 0 f 0 / D X r f . / C r 0 f 0. / 2 D X r f . / C r0 2 Dr X 2 f . / C r0 f 0. / X 2 f 0. 8 (Universelle Eigenschaft von Summe und Produkt) Seien M für (i) 2 , sowie S und P Links-R-Moduln. Zeige: Wenn es R-Modulhomomorphismen p W P ! M gibt, bezüglich der P die folgende universelle Eigenschaft hat (für alle ) 8' N 9Š' M p P dann ist P isomorph zum direkten Produkt der M . (ii) Wenn es R-Modulhomomorphismen j W M ! S gibt, bezüglich der S die folgende universelle Eigenschaft hat (für alle ) 8' N 9Š' M j S dann ist S isomorph zur direkten Summe der M .

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