Algebra: Unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. by b l van der waerden

By b l van der waerden

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En - l ) von N immer zu einer Basis (el> ... , en ) von M ergänzen und dann N durch die lineare Gleichung ° definieren. Wir setzen nun wieder voraus, daß Ü ein nicht diskreter, bewerteter Schiefkörper ist. Dann gilt Satz 2. Wenn f stetig ist, so ist N in M abgeschlossen und umgekehrt. Die erste Behauptung ist trivial, denn die Nullstellen einer stetigen Funktion in einem topologischen Raum bilden immer eine abgeschlossene Menge. Es sei also N in M abgeschlossen; wir wollen beweisen, daß f stetig ist.

X r und X n ist. • , X" also auch von X n , X 2 , ••• , X r • Da der Transzendenzgrad von LI (Xl> •.. , x,,) gleich r ist, so sind X n , X 2 , ••• , xr unabhängig. •. , x,J ist separabel über dem Körper LI (Xl' •.. , x r ) und dieser wieder über LI (xn ,x2 , ••• , x r ), also sind alle Xi se parabel über LI (x"' X 2 , . · · , x r ). Ändert man nun die Numerierung der Xi' indem man die Nummern 1 und n vertauscht, so folgt die Behauptung. Für unvollkommene Körper hat A. WEIL notwendige und hinreichende Bedingungen für separable Erzeugbarkeit gegeben.

Dann gibt es außer den Differentialen 1. Gattung kein Differential, das Multiplum von p-l ist, d. h. es gibt kein Differential mit nur einem einfachen Pol p. 2. Unter den gleichen Voraussetzungen gibt es für jedes n > 1 ein Elementardifferential 2. Gattung w (pn), das in p einen n-fachen Pol hat. Jedes Differential, das Multiplum von p-n ist, läßt sich aus w (p2), W (p3) .... , w (p,,) und den g linear unabhängigen Differentialen 1. Gattung linear zusammensetzen. 3. Unter den gleichen Voraussetzungen gibt es zu je zwei Stellen Pl und P2 ein Elementardifferential 3.

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